Grothendieck 类的显式公式 $\overline{\mathcal M}_{0,n}$

我们获得了该模型空间（genus 0 稳定曲线带 n 个标记点）在变种的 Grothendieck 群中的类的显式表达式。该信息等价于 Poincaré 多项式；它给出了该模型空间 Betti 数的显式表达式，具体形式为 Stirling 数或贝特纳数。通过求解 Yuri Manin 在 1990 年代期间所述的描述该 Grothendieck 类生成函数的微分方程，我们得到了这些表达式。该微分方程等价于 S. Keel 对这些模型空间 Betti 数的递归公式。我们的证明将求解归约为两个由拉格朗日级数推出的组合恒等式。我们还研究了单个 Betti 数的生成函数。此前的工作已表明，这些函数由具有正有理系数的多项式组决定，而这些多项式可论证为 log-concave。我们验证了这一猜想，针对对应于这些模型空间所有 $k\le 100$ 的 $2k$-Betti 数的生成函数的许多无限族。进一步地，研究这些多项式使我们能够证明，模型空间 Grothendieck 类的生成函数可表示为 Lefschetz 动机和 Lambert W 函数主分支的有理函数级数。我们给出 Stirling 矩阵的解释，并讨论了该模型空间的欧拉特征。