经典正交多项式根或极值点处多项式插值的显式重心权重

重心插值可以说是数值多项式插值的首选方法。多项式插值函数利用所谓的重心权重以函数值表示，而这些权重取决于插值点。目前已知的此类重心权重的显式公式寥寥无几。在 [H. Wang and S. Xiang, Math. Comp., 81 (2012), 861--877] 中，作者证明了 Legendre 多项式根的重心权重可以用相应 Gauss 求积规则的权重显式表示。这一思想随后被实现在 Chebfun 软件包 [L. N. Trefethen and others, The Chebfun Development Team, 2011] 中，并在此过程中被 Chebfun 作者推广至 Jacobi、Laguerre 和 Hermite 多项式的根。在本文中，我们探讨了重心权重与 Gauss 求积之间联系的普遍性，并表明此类关系与正交多项式降阶算子的存在性有关。我们提供了一份详尽的案例列表，其中不仅恢复了所有已知公式，还推导了一些新公式，包括 Gauss-Radau 和 Gauss-Lobatto 点的重心权重。基于 Hale 和 Townsend 提出的用于计算 Gauss 求积的快速 $\mathcal O(n)$ 算法，这导出了一种用于计算重心权重的 $\mathcal O(n)$ 计算方案。