不引入新光滑函数的实闭域扩张

我们证明如下定理：设 $\widetilde{\mathcal R}$ 为实域 $\overline{\mathbb R}$ 的一个扩张，使得每个可定义集（I）是半代数集的一致可数并，且（II）包含一个“半代数块”。则每个具有半代数开定义域的可定义光滑函数 $f:X\subseteq \mathbb R^n\to \mathbb R$ 都是半代数的。条件（I）和（II）对实域的各种 d-极小扩张 $\widetilde{\mathcal R} = \langle \overline{\mathbb R}, P\rangle$ 成立，例如当 $P=2^\mathbb Z$，或 $P\subseteq \mathbb R$ 为一个迭代序列时。将该定理推广到 $\mathbb R_{an}$ 的 d-极小扩张 $\widetilde{\mathcal R}$ 则不成立。另一方面，我们针对任意实闭域的扩张 $\widetilde{\mathcal R}$ 证明了我们的定理。此外，其结论对某些具有 d-极小开核的结构也成立，例如 $\langle \overline{\mathbb R}, \mathbb R_{alg}, 2^\mathbb Z\rangle$。