在由稠密集扩张的o-极小结构中计数代数点

Pila-Wilkie定理指出，如果集合$X\subseteq \mathbb R^n$在o-极小结构$\mathcal R$中可定义，并且包含“许多”有理点，那么它包含一个无限半代数集。本文将这个定理推广到$\mathcal R$的扩张$\widetilde{\mathcal R}=\langle \mathcal R, P\rangle$，其中$P$是一个稠密集，它要么是$\mathcal R$的初等子结构，要么是独立的，如下所述。如果$X$在$\widetilde{\mathcal R}$中可定义并且包含许多有理点，那么它在无限半代数集中是稠密的。此外，它包含一个无限集，该集在$\langle \overline{\mathbb R}, P\rangle$中是$\emptyset$-可定义的，其中$\overline {\mathbb R}$是实数域。