扩张子与 Reed-Muller 的交汇：噪声 k-XOR 的易实例

在噪声 $k$-XOR 问题中，给定 $y \in \mathbb{F}_2^M$，需要区分 $y$ 为均匀随机与 $y = A x + e$，其中 $A$ 是具有 $N$ 个变量和 $M$ 个约束的 $k$-左正则二分图的邻接矩阵，$x\in \mathbb{F}_2^N$ 为随机变量，$e$ 为噪声率为 $\eta$ 的噪声项。在 Sum-of-Squares 和低次多项式等受限计算模型中的下界与 $A$ 的扩张性密切相关，由此引出了扩张性蕴含困难性的猜想。我们通过构造具有近最优扩张性的显式图族，证明了此类猜想是错误的——在这些图上噪声 $k$-XOR 可在多项式时间内求解。我们的构造结合了伪随机性和编码理论中两个强大的研究方向，此前从未被整合。具体而言，我们的图基于 Guruswami、Umans 和 Vadhan（JACM 2009）的无损扩张子。我们的关键洞见是，通过对其图顶点的适当解释，噪声 XOR 问题转化为从随机错误中解码 Reed-Muller 码的问题。然后我们利用 2010 年代的大量工作来纠正大量随机错误。将这些结合即得到我们的构造。具体而言，我们得到了显式图族，使得在常数噪声率 $\eta = 1/3$ 下噪声 $k$-XOR 可在多项式时间内求解，图的参数为 $M = 2^{O(\log^2 N)}$，$k = (\log N)^{O(1)}$，且具有 $(N^{1-\alpha}, 1-o(1))$-扩张性。在关于二元擦除信道上 Reed-Muller 码的标准猜想下，这推广到 $M = N^{O(1)}$、$k=(\log N)^{O(1)}$、扩张性 $(N^{1-\alpha}, 1-o(1))$ 且噪声率为 $\eta = N^{-c}$ 的图族，并具有多项式时间算法。