高噪声区域中改进的显式近最优码

我们研究了高噪声区域中的唯一可解码码和列表可解码码，特别是能够从$\frac{1-\varepsilon}{2}$比例的误差中唯一解码和从$1-\varepsilon$比例的误差中列表解码的码。我们提出了几种改进的显式构造，实现了近最优速率，以及高效甚至线性时间的解码算法。我们的贡献如下。1. 显式近最优线性时间唯一可解码码：我们构造了一个显式的$\mathbb{F}_2$-线性码族，速率为$\Omega(\varepsilon)$，字母表大小为$2^{\mathrm{poly} \log(1/\varepsilon)}$，能够在$2e + s < (1 - \varepsilon)n$时在线性时间内纠正$e$个错误和$s$个擦除。2. 显式近最优列表可解码码：我们构造了一个显式的列表可解码码族，速率为$\Omega(\varepsilon)$，字母表大小为$2^{\mathrm{poly} \log(1/\varepsilon)}$，能够在多项式时间内从$1-\varepsilon$比例的误差中进行列表解码，列表大小为$L = \exp\exp\exp(\log^{\ast}n)$。3. 具有近最优列表大小的列表可解码码：我们构造了一个显式的列表可解码码族，具有最优列表大小$O(1/\varepsilon)$，尽管速率次优为$O(\varepsilon^2)$，能够在多项式时间内从$1-\varepsilon$比例的误差中进行列表解码。此外，我们引入了一种新的组合对象，称为多重集分散器，并使用它给出一个列表可解码码族，其近最优速率为$\frac{\varepsilon}{\log^2(1/\varepsilon)}$，列表大小为$\frac{\log^2(1/\varepsilon)}{\varepsilon}$，可以在概率多项式时间内构造并在确定性多项式时间内解码。我们还引入了新的解码算法，这些算法可能对其他基于图的码有价值。