低度启发式下含噪 $k$-XOR 问题的近最优算法

含噪 $k$-XOR 是一个基本的平均情况推断问题，其中观测者观察到随机含噪的 $k$ 元奇偶约束，并寻求恢复，或更弱地，检测一个隐藏的布尔赋值。一个核心问题是刻画样本复杂度、噪声水平和运行时间之间的权衡。我们为高噪声区域中的含噪 $k$-XOR 问题给出了一个恢复算法，因此也给出了一个检测算法。对于每个参数 $D$，我们的算法运行时间为 $n^{D+O(1)}$，并且只要满足 $$m \ge C_k \frac{n^{k/2}}{D^{\,k/2-1}\delta^2}$$ 就能成功，其中 $C_k$ 是一个仅依赖于 $k$ 的显式常数，$\delta$ 是噪声偏差。我们的结果在检测方面匹配了先前已知的最佳时间-样本权衡，同时提供了恢复保证。此外，对噪声偏差 $\delta$ 的依赖在常数因子内是最优的，匹配了信息论标度。我们还证明了匹配的低度下界。特别地，我们表明度数为 $D$ 的低度似然比在相同阈值以下具有有界的 $L^2$ 范数，仅相差因子 $D^{k/2-1}$。在低度启发式下，这意味着我们的算法在广泛的参数范围内是近最优的。我们的方法将精细的二阶矩分析与用于结构化超图嵌入统计的着色编码和动态规划相结合。这些技术可能对其他平均情况推断问题具有独立意义。