带漂移的 $\mathbb{R}^d$ 中非线性积分微分方程的存在唯一性

在本文中我们考虑一类如下形式的非线性积分微分方程 $$\inf_{\tau \in\mathcal{T}} \bigg\{\int_{\mathbb{R}^d} (u(x+y)+u(x-y)-2u(x))\frac{k_{\tau}(x,y)}{|y|^{d+2s}} \,dy+ b_{\tau}(x) \cdot \nabla u(x)+g_{\tau}(x) \bigg\}-\lambda^*=0\quad \text{in} \hspace{2mm} \mathbb{R}^d,$$ 其中 $0<\lambda(2-2s)\leq k_{\tau}\leq \Lambda (2-2s)$ ，$s\in (\frac{1}{2},1)$。上述方程出现在 $\mathbb{R}^d$ 中遍历控制问题的研究中，当受控动力学由以核 $k_{\tau}\,|y|^{-d-2s}$ 和漂移 $b_\tau$ 为特征的纯跳跃 Lévy 过程支配时。在 Foster-Lyapunov 条件下，我们建立了满足上述方程的解对 $(u, \lambda^*)$ 的唯一存在性，前提是我们设定 $u(0)=0$。结果随后被推广以涵盖混合局部-非局部类型的 HJB 方程，这显著改进了 [Arapostathis-Caffarelli-Pang-Zheng (2019)] 中的结果。