RAN 上精确可解的紧束缚模型：分形能谱与 Bose-Einstein 凝聚

我们首先考虑 Regularized Apollonian Network (RAN) 上的单粒子紧束缚模型。RAN 的定义始于一个具有四个全连接节点的四面体结构（第 0 代）。在随后的每一代中，添加新节点并将其与周围的三个节点相连。结果得到了连通性的幂律累积分布 $P(k)\propto {1}/{k^{\eta}}$，其中 $\eta=\ln(3)/\ln(2) \approx 1.585$。通过递归方法精确计算了任意网络尺寸下的哈密顿量本征值。在无限尺寸极限下，也精确确定了态密度和态的累积分布（积分态密度）。研究表明，靠近能带底部的累积分布的相关标度行为呈幂律形式，其指数取决于谱维数而非嵌入维数。随后，我们考虑由无限多个非相互作用玻色子组成的气体，每个玻色子由 RAN 上的紧束缚哈密顿量描述，并证明了对于足够大的玻色子密度和足够低的温度，宏观比例的粒子占据最低单粒子能态，形成 Bose-Einstein 凝聚体。我们不仅确定了作为玻色子密度函数的转变温度，还确定了任意温度和玻色子密度下的凝聚粒子比例、逸度、能量和比热。