与超几何方程相关的精确可解薛定谔算子

我们研究了一维薛定谔算子，其定义为可用高斯超几何函数精确求解的闭算子。我们允许势函数为复数。这些算子分为三组。第一组可以通过仿射变换化为Gegenbauer方程，这是超几何方程的一个特例。另外两组，我们分别称为第一类和第二类超几何方程，可以化为一般的高斯超几何方程。每一组又细分为三个族，分别作用于希尔伯特空间 $L^2]-1,1[$、$L^2(\rr_+)$ 和 $L^2(\rr)$。受这些族的几何应用启发，我们分别称它们为球面族、双曲族和de Sitter族。这些族在量子力学中均有已知应用：例如，第一类球面超几何薛定谔算子通常称为三角Pöschl-Teller哈密顿量。对于属于每个族的算子，我们计算了其谱并确定了其格林函数（预解式的积分核）。我们还描述了关联这些格林函数的变换恒等式，这些恒等式在不同算子族之间交换谱参数与耦合常数。最后，我们描述了这些算子如何从对称流形上（伪）拉普拉斯算子的变量分离中产生。本论文可视为参考文献[DL]的续篇，该文献研究了可用Kummer合流方程精确求解的一维薛定谔算子的闭实现。