基于 Vandermonde 矩阵的精确稀疏重构

作为经典线性代数中的结论，欠定线性方程组通常有无穷多解。这些解中最稀疏的一个在许多应用中很重要。该问题可建模为 $l_0$-最小化，然而，求欠定线性方程组的最稀疏解是 NP-hard 的。因此，一个重要方法是求解如下 $l_p$-最小化 ($0<p\leq1$)，该问题的目的是寻找一个 $p$-范数最小化解 $(0<p\leq1)$ 以替代最稀疏解。为了研究 $l_0$-最小化与 $l_p$-最小化之间的等价关系，大多数相关工作采用限制等距性质 (RIP) 与限制等距常数 (RIC)。在 RIP 和 RIC 前提下，那些工作仅解决了当 $l_0$-最小化的解 $\breve{x}$ 满足 $\|\breve{x}\|_0<k$ 的情形，其中 $k$ 是满足 $k<\frac{spark(A)}{2}$ 的已知固定常数。本文的结果之一是给出解析表达式 $p^*$ 使得对所有 $\|\breve{x}\|_0<\frac{spark(A)}{2}$，$l_p$-最小化等价于 $l_0$-最小化。本文我们还考虑矩阵 $A$ 为 Vandermonde 矩阵的情形，并给出解析表达式 $p^*$ 使得 $l_p$-最小化的解同样求解 $l_0$-最小化。与基于 RIP 和 RIC 的相似结果相比，我们不需要唯一性假设，即 $l_0$-最小化的解 $x^*$ 不必被假设为唯一解，这是我们结果的主要突破。我们结果的另一优势是可计算性，即解析表达式中的每一部分都可容易地计算。