基于 RSP 的欠定线性系统最稀疏与最小 $\ell_1$-范数解分析

Yunbin Zhao

doi:10.1109/TSP.2013.2281030

基于 RSP 的欠定线性系统最稀疏与最小 $\ell_1$-范数解分析

信息论 2015-06-16 v1 math.IT

作者: Yunbin Zhao

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摘要

近期，最坏情况分析、概率分析和经验论证已被用于解决一个基本问题： $\ell_1$ -最小化何时能找到欠定线性系统的最稀疏解？本文基于经典线性规划理论进行确定性分析，以进一步探讨此问题。我们首先确定了线性系统最小 $\ell_1$ -范数解唯一性的充要条件。由此条件我们推导出，当且仅当所谓\emph{值域空间性质} (range space property, RSP) 在该解处成立时，最稀疏解才与线性系统的唯一最小 $\ell_1$ -范数解重合。这提供了对 $\ell_0$ -和 $\ell_1$ -最小化问题之间关系的广泛理解。我们的分析表明，RSP 确实位于这两个问题关系的核心。通过基于 RSP 的分析，可以很大程度上解决该领域的几个重要问题。例如，如何通过确定性分析有效解释当前理论与 $\ell_1$ -最小化实际数值性能之间的差距，以及当线性系统存在多个最稀疏解时， $\ell_1$ -最小化何时能保证找到其中之一？此外，本文引入了新的矩阵性质（如\emph{ $K$ 阶 RSP}和\emph{ $K$ 阶弱 RSP}），并建立了基于 $K$ 阶 RSP 的稀疏信号恢复新理论。

关键词

最稀疏解最小 $\ell_1$-范数解欠定线性系统值域空间性质 RSP 稀疏信号恢复线性规划

引用

@article{arxiv.1307.4579,
  title  = {RSP-Based Analysis for Sparsest and Least $\ell_1$-Norm Solutions to Underdetermined Linear Systems},
  author = {Yunbin Zhao},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1307.4579},
  year   = {2015}
}

基于 RSP 的欠定线性系统最稀疏与最小 $\ell_1$-范数解分析

摘要

关键词

引用

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