单向流的精确解与物理类比

单向流是流体力学中最简单的现象。其数学描述，即带常强迫项的二维泊松方程的狄利克雷问题，出现在许多物理背景中，例如弹性梁的扭转，后者由 de Saint-Venant 首次针对复杂形状求解。本文通过识别单向流的十七种物理类比并描述其共同数学结构，对现有文献进行了统一和扩展。除了流体与固体力学中的经典类比外，还讨论了随机过程（二维首次通过）、图案形成（侵蚀导致的河流生长）和电动学（纳米通道中的离子传输）中的应用，这些也涉及带非常数强迫项的泊松方程。给出了通过向二次型添加调和函数或截断特征函数展开来构造允许精确解的近似几何形状的方法。针对给定几何形状的精确解也通过保角映射导出。我们证明了等边三角形管道中泊肃叶流的非凡几何解释（内部点到各边距离之积）仅由平行平板和无界等边楔形（第三边隐藏在顶点之后）所共有。我们还基于单向流的数学，证明了任意形状和表面电荷的直线孔隙中线性电动现象的昂萨格互易性。