四维非交换U(1)规范理论的精确解

通过将非交换空间切片 ${\bf R}^2_{\theta}$ 近似为矩阵大小为 $L$、半径为 $R$ 的模糊球面，对 Moyal-Weyl 空间 ${\bf R}^2{\times}{\bf R}^2_{\theta}$ 上的非交换 U(1) 规范理论进行正则化。在经典层面，我们观察到在展平连续平面极限 $R,L{\longrightarrow}{\infty}$ 下，模糊空间 ${\bf R}^2{\times}{\bf S}^2_L$ 上的场论约化为 Moyal-Weyl 平面 ${\bf R}^2{\times}{\bf R}^2_{\theta}$ 上的场论，其中 $R^2/L^{2q}{\simeq}{\theta}^2/4^q$ 且 $q>{3/2}$。有效非交换参数被发现为 ${\theta}_{eff}^2{\sim}2{\theta}^2(\frac{L}{2})^{2q-1}$，因此它对应于强非交换空间。在量子理论中，事实证明该方案也等价于模型的维度约化，其中四维非交换 U(1) 规范理论在大 $L$ 极限下被证明等价于二维普通 $O(M)$ 非线性 sigma 模型，其中 $M{\sim}3L^2$。如此定义的 Moyal-Weyl 模型也被视为一个普通可重整化理论，可以使用最速下降法精确求解。更精确地说，对于固定的重整化标度 $\mu$ 和固定的重整化耦合常数 $g_r^2$，我们为 sigma 场的不同分量找到了一个 $O(M)-$ 对称质量，该质量对于所有 $g_r^2$ 值均非零，因此在此解中 $O(M)$ 对称性从未被破坏。我们还获得了该理论 beta 函数的精确表示，它与已知的单圈微扰结果一致。