后见之明中最佳再平衡规则的精确复制

本文对如下金融衍生品进行定价与复制：其在 $T$ 时刻的 payoff 为，若以 \1$存入后见之明确定的最佳连续再平衡组合（或固定比例投注方案）所能累积的财富。对于单股票 Black-Scholes 市场，Ordentlich 与 Cover（1998）仅给出了该衍生品在 0 时刻的价格$C_0=1+\sigma\sqrt{T/(2\pi)}$。当然，一般时刻$t$的价格并不等于$1+\sigma\sqrt{(T-t)/(2\pi)}$。我完成了 Ordentlich-Cover（1998）的分析，推导了任意时刻$t$的价格。相比之下，我还研究了更为自然的后见之明最佳杠杆再平衡规则的情形。这给出$C(S,t)=\sqrt{T/t}\cdot\,\exp\{rt+\sigma^2b(S,t)^2\cdot t/2\}$，其中$b(S,t)$为观测历史$[0,t]$上的后见之明最佳再平衡规则。我证明复制策略等价于在区间$[t,t+dt]$上将财富的比例$b(S,t)$投注于股票。这一事实对具有$n$个相关股票且服从几何布朗运动的一般市场亦成立：我们得到$C(S,t)=(T/t)^{n/2}\exp(rt+b'\Sigma b\cdot t/2)$，其中$\Sigma$为单位时间瞬时收益的协方差。该结果与 Cover 在其“通用组合理论”（1986, 1991, 1996, 1998）中导出的$\mathcal{O}(T^{n/2})$ “普适性代价”相符，后者在离散时间下超复制同一衍生品。该复制策略以与后见之明最佳杠杆再平衡规则相同的渐近速率复合其资金，从而渐近地战胜市场。自然地，我们发现 Cover 衍生品的美式版本在均衡中永远不会提前行权。