$\mathbb{Z}_2$ 托克代码的 exact $\mathbb{Z}_2$ 电磁二重性非 Clifford

二维 $\mathbb{Z}_2$ 托克代码具有交换电磁准粒子的全局对称性，称为电磁二重性。已知的实现包括晶格平移对称性、由 Clifford 电路生成的 exact $\mathbb{Z}_4$ 对称性，以及由非 Clifford 电路生成的 exact $\mathbb{Z}_2$ 对称性。我们证明，Clifford 电磁二重性无法实现 exact internal $\mathbb{Z}_2$ 对称性。这一结果对具有 $l$ 个晶格单位的粗略平移不变性的对称性进行严格证明。因此，exact internal $\mathbb{Z}_2$ 电磁二重性必须是非 Clifford 的，而通用的 internal Clifford 实现必然具有 $m\ge 2$ 的 $\mathbb{Z}_{2^m}$ 代数。我们的结果暗示了 exact 电磁二重性代数与电路 Clifford 阶层之间的意想不到的联系。