物理信息深度神经网络中基于距离函数精确施加边界条件

本文中,我们引入一种基于距离场的新方法,以在物理信息深度神经网络中精确施加边界条件。在无网格与粒子法中满足Dirichlet边界条件的困难是众所周知的。该问题在用于求解偏微分方程的物理信息神经网络(PINN)的发展中同样相关。我们在人工神经网络中引入几何感知试探函数,以改进偏微分方程深度学习的训练。为此,我们利用构造实体几何(R-函数)与广义重心坐标(均值势场)的概念来构造φ,即到区域边界的近似距离函数。为精确施加齐次Dirichlet边界条件,试探函数取为φ乘以PINN逼近,并通过超限插值对其推广,以先验地满足复杂几何上的非齐次Dirichlet(本质)、Neumann(自然)和Robin边界条件。由此,我们消除了搭配法中与边界条件满足相关的建模误差,并确保在Ritz方法中逐点满足运动学可容性。我们给出了在具有仿射与弯曲边界区域上线性与非线性边值问题的数值解。考虑了1D中线性弹性、对流-扩散与梁弯曲的基准问题;以及2D中Poisson方程、双调和方程与非线性Eikonal方程。该方法可推广到更高维,我们通过求解4D超立方体上具有齐次Dirichlet边界条件的Poisson问题展示了其应用。本研究为在无网格离散化的精确几何上进行无网格分析提供了一条途径。