通过 AI Hilbert 统一数据与背景知识以实现科学发现的演化

发现能够简洁解释自然现象并与现有背景理论一致的科学公式，是科学中的关键目标。历史上，科学家通过基于已有知识操控方程、形成新方程并通过实验验证来推导自然定律。近年来，在数据驱动科学发现中，当存在大量实验数据时，其已成为一种可行的替代方案。遗憾的是，当数据含噪或稀缺时，数据驱动方法往往无法发现有效定律。因此，近期工作将回归与推理相结合，以剔除与背景理论不一致的公式。然而，在符合背景理论的公式空间中搜索以找到最拟合数据的公式这一问题尚未得到很好解决。我们针对所有公理与科学定律均可由多项式等式与不等式表达的情况提出了一种解决方案，并论证了我们的方法具有广泛适用性。我们使用二元变量与逻辑约束对最小复杂度概念进行建模，通过混合整数线性或半定优化求解多项式优化问题，并利用 Positivstellensatz 证书以原则性方式证明我们科学发现的有效性。本文所利用的优化技术使得我们的方法在背景理论完全正确且推导复杂度有界的假设下可在多项式时间内运行，或在背景理论部分正确时在非确定性多项式（NP）时间内运行。我们证明了包括开普勒第三行星运动定律、哈根-泊肃叶方程以及辐射引力波功率方程在内的一些著名科学定律，均可由公理与实验数据以原则性方式推导得出。