广义Buchstab函数的求值及组合对象最小分量分布方差的再探

设$n\geq 1$，$X_{n}$为表示由$n$个元素构成的随机组合对象的最小分量大小的随机变量。组合对象可以是排列、有限域上的单变量多项式、满射、图等等。所谓随机组合对象，是指所有大小为$n$的可能组合对象中均匀随机选取的一个。可以理解，排列的分量是一个循环，单变量多项式的不可约因子，图的连通分量，等等。组合对象被分类为参数类。在本文中，我们关注参数$K=1$（排列、错排、有限域上的多项式等）和$K=1/2$（满射、2-正则图等）的exp-log类。广义Buchstab函数$\Omega_{K}$在求值和统计量的评估中起着重要作用。对于$K=1$，\cite{PanRic_2001_small_explog}的定理$5$规定对于某$\epsilon>0$和足够大的$n$有$\mathrm{Var}(X_{n})=C(n+O(n^{-\epsilon}))$。我们使用不同方法重新评估$C=1.3070\ldots$：利用复分析工具的解析估计、使用Taylor展开的 Numerical integration，以及利用计数问题的递归性质计算$n\leq 4000$的精确分布。一般地对于任意$K$，\cite{BenMasPanRic_2003}的定理$1.1$将$x\geq 1$时的量$1/\Omega_{K}(x)$与具有较大最小分量的$n$-对象渐近比例相联系。我们展示了对于$\lfloor x\rfloor \leq x < \lfloor x\rfloor+1$的$\Omega_{K}(x)$的Taylor展开系数如何依赖于$\lfloor x\rfloor-1 \leq x-1 < \lfloor x\rfloor$的那些系数。我们利用这一系数族来求值$\Omega_{K}(x)$。