带交换子强迫的欧拉动力学 III. 阶数为 $0<\alpha<1$ 的分数阶扩散

我们继续研究具有奇异相互作用核 $\phi(x) = |x|^{-(1+\alpha)}$ 的智能体自组织演化的流体力学模型。继我们关注范围 $1\leq \alpha <2$ 的著作 \cite{ST2017a,ST2017b} 以及 Do 等人 \cite{DKRT2017} 涵盖范围 $0<\alpha<1$ 之后，本文重新考察后者情形，并给出光滑解全局时间存在性的一个更简短证明，同时给出其长时间动力学的完整描述。具体而言，我们证明从 $(\rho_0,u_0) \in H^{2+\alpha}\times H^3$ 中的任意初始条件出发，解以指数速度快速逼近一个集群状态解，该解由以由守恒平均速度 $\bar{u}$ 决定的恒定速度传播的波 $\bar{\rho}=\rho_\infty(x-t\bar{u}))$ 组成。该收敛伴随着 $u$ 所有高阶导数的指数衰减。