具有交换子强迫的欧拉动力学 II：群集

我们继续研究在 \cite{ST2016} 中引入的、由形式为 $[\aL_\phi,u](\rho)=\phi*(\rho u)- (\phi*\rho)u$ 的交换子结构强迫驱动的一维欧拉方程类，其中 $u$ 是速度场，$\phi$ 属于一类相当一般的\emph{影响}或相互作用核。在本文中，针对两类典型核子类：有界正 $\phi$，以及阶为 $\alpha\in [1,2)$ 的奇异 $\phi(r) = r^{-(1+\a)}$（与分数阶拉普拉斯算子 $\aL_\phi=-(-\partial_{xx})^{\alpha/2}$ 的作用相关），我们根据\emph{快速群集}量化了此类系统的大时间行为。具体而言，我们证明了快速速度对齐，即速度 $u(\cdot,t)$ 趋于常值状态 $u \to \bar{u}$，且斜率和曲率界以指数衰减 $|u_x(\cdot,t)|_{\infty}+ |u_{xx}(\cdot,t)|_{\infty}\lesssim e^{-\d t}$。该对齐伴随着密度以指数快速群集趋向固定的行波状态 $\rho(\cdot,t) - {\rho_{\infty}}(x - \bar{u} t) \rightarrow 0$。