平面中 $\ell_1$、$\ell_2$ 与 $\ell_\infty$ 范数下的欧几里得偏好

我们给出了关于平面中在 $\ell_1$、$\ell_2$ 与 $\ell_{\infty}$ 范数下欧几里得偏好的若干结果。当存在四位候选者时，我们证明在范数 $\ell_1$ 或 $\ell_{\infty}$ 下平面中欧几里得偏好轮廓的最大规模（就两两不同偏好的数量而言）为 19。无论候选者数量多少，我们证明在范数 $\ell_1$ 或 $\ell_\infty$ 下，二维欧几里得偏好轮廓中至多可有四位不同候选者排在末位，这推广了一维欧几里得偏好情形（众所周知其中至多两位候选者排在末位）。我们将此结果推广到 $d$ 维欧几里得偏好下 $\ell_1$（相应为 $2d$）的 $2^d$（相应为 $\ell_\infty$）。我们还确定，在范数 $\ell_1$ 下 $m$ 个候选者的二维欧几里得偏好轮廓的最大规模属于 $\Theta(m^4)$，即与范数 $\ell_2$ 下具有相同数量级。最后，我们给出一新证明：在范数 $\ell_2$ 下四位候选者的二维欧几里得偏好轮廓可由三个投票者极大的二维欧几里得轮廓刻画。该证明是 Kamiya 等人在 Ranking patterns of unfolding models of codimension one, Advances in Applied Mathematics 47(2):379-400 中所提证明的更简替代。