欧氏格、theta 不变量与热力学形式体系

这些是 2017 年 6 月在格勒诺布尔暑期学校“Arakelov 几何与丢番图应用”上讲授的讲义。它们构成了对欧氏格及其以 theta 级数定义的不变量研究的导论。回顾欧氏格定义为一个对 $\bar{E}:= (E, \Vert .\Vert)$，其中 $E$ 是某个有限秩的自由 $\mathbb{Z}$-模，而 $\Vert. \Vert$ 是实数向量空间 $E_\mathbb{R} := E \otimes \mathbb{R}$ 上的某个欧氏范数。这些不变量中最基本的是如下非负实数：$$h^0_\theta(\bar{E}) := \log \sum_{v \in E} e^{- \pi \Vert v \Vert^2}.$$ 在这些讲义中，我们解释当研究有关欧氏格经典不变量（如逐次极小值、覆盖半径或给定半径球中的格点数）的基本问题时，此类不变量如何自然出现。我们特别讨论了它们从 Arakelov 几何以及数域与函数域之间类比视角下的意义、它们（由 Banaszczyk 发现）在导出最优转移估计中的作用，以及它们用统计热力学形式体系的解释。这些讲义主要面向算术几何学者撰写，但也应适合对欧氏格或统计物理数学基础有一定兴趣的更广泛数学家与理论物理学家群体。