图棱柱上的永恒控制

图 $G$ 的一个永恒控制集是一组顶点（或“守卫”），它控制 $G$ 并能防御任意无限的顶点攻击序列，其中一次攻击通过沿一条边将一名守卫从其当前位置移动到被攻击顶点来防御。最小永恒控制集的大小记为 $\gamma^\infty(G)$，称为 $G$ 的永恒控制数。在本文中，我们回答 Klostermeyer 和 Mynhardt [Discussiones Mathematicae Graph Theory, vol. 35, pp. 283-300] 的一个猜想，表明存在无穷多个图 $G$ 使得 $\gamma^\infty(G)=\theta(G)$ 且 $\gamma^\infty(G \Box K_2)<\theta(G \Box K_2)$，其中 $\theta(G)$ 表示 $G$ 的团覆盖数。