$k$-单调密度的估计:极限分布理论与样条联系

我们研究当 $k>2$ 时,在固定点 $x_0$ 处对 $k$-单调密度 $g_0$ 的最大似然估计量与最小二乘估计量的渐近行为。我们发现估计量在 $x_0$ 处的第 $j$ 阶导数以速率 $n^{-(k-j)/(2k+1)}$ 收敛,其中 $j=0,...,k-1$。极限分布依赖于一个几乎必然唯一确定的随机过程 $H_k$,当 $k$ 为偶数(奇数)时,该过程位于布朗运动的 $k$ 重积分加上确定性漂移之上(之下)。已知 MLE 与 LSE 均为次数为 $k-1$、具有单结点的样条。确定随机间隙 $\tau_n^+-\tau_n^-$ 的阶(其中 $\tau_n^{\pm}$ 表示两个相邻结点)是证明主要结果的关键要素。我们证明,若关于通过奇次样条进行特定 Hermite 插值误差上界的猜想成立,则该“间隙问题”可解。