函数参数的高阶样条高自适应Lasso估计：点态渐近正态性与一致收敛速率

我们考虑基于i.i.d.观测对数据分布的函数进行估计。我们假设目标函数可定义为某损失函数期望在一类具有有限截面变差范数的$d$元实值cadlag函数类上的最小化元。对所有$k=0,1,\ldots$，我们定义$k$阶光滑函数类为单元立方体上的$d$元函数，其依序定义的$k$阶Radon-Nikodym导数（关于Lebesgue测度）为cadlag且有界变差。对于该类中的目标函数，我们给出其表示为以结点索引的$\leq k$阶样条基函数张量积的无穷线性组合，其中低（于$k$）阶样条基函数用于表示函数在$0$边处的值。系数的$L_1$范数表示所有$k$阶导数变差范数之和，称为目标函数的$k$阶截面变差范数。这将具有有界截面变差范数的零阶样条表示推广至高阶光滑类。我们利用函数的$k$阶样条表示定义$k$阶样条筛最小损失估计量（MLE）、高自适应Lasso（HAL）MLE及松弛HAL-MLE。对于一阶及更高阶光滑类，本文分析这三类估计量，并建立点态渐近正态性及维度无关速率$n^{-k^*/(2k^*+1)}$（直至依赖于维度的$\log n$幂次）的一致收敛性，其中$k^*=k+1$，假设在选择$L_1$范数时使用了适当的欠光滑。我们还建立了目标函数路径可微特征的插件估计量的渐近线性。