利用欠平滑高自适应 Lasso 对路径可微目标参数的有效估计

我们考虑基于观测独立同分布样本，对现实建模数据分布的一个泛函参数进行估计。我们定义了泛函参数的 $m$ 阶样条高自适应 Lasso 最小损失估计（Spline HAL-MLE），其通过在一个 $m$ 阶光滑函数类上最小化经验风险函数来定义。我们证明该 $m$ 阶光滑类由所有可表示为 $\le m$ 阶样条基函数张量积的无穷小线性组合的函数构成，并涉及在每个坐标上假设 $m$ 阶导数。通过交叉验证选择 $m$，我们得到一个 Spline-HAL-MLE，它能够自适应于真实函数的未知光滑度，同时只要真实函数为 cadlag（右连续且具有左极限）且具有有限截面变差范数，就保证快于 $n^{-1/4}$ 的收敛速率。$m=0$ 光滑类由所有具有有限截面变差范数的 cadlag 函数构成，对应于 van der Laan (2015) 中定义的原始 HAL-MLE。本文中我们确立，在易于验证的全局欠平滑条件下，该 Spline-HAL-MLE 给出泛函参数任意光滑特征的渐近有效估计量。后一条件的充分条件是所选基函数的经验均值的最小值小于常数乘以 $n^{-1/2}$，该条件不依赖于参数，并强制 lasso 中 $L_1$ 范数的选择足够大以包含稀疏支撑的基。我们针对平均处理效应和数据密度平方的积分的 $m=0$-HAL-MLE 展示了一般结果。我们还给出了这两个例子的模拟以证实该理论。