k-单调密度的估计, 第一部分: 刻画、一致性与极小极大下界

形状约束密度出现在许多非参数估计问题中。单调或凸（且单调）密度类可视为 k-单调密度类的特例。若密度 g 直到 k-2 阶的连续导数交替为负或正，且 k-2 阶导数凸（或凹）分别依 k 为偶（或奇），则称 g 为 k-单调。当 k=1 时 g 即为非增。这些形状约束密度类填补了已知渐近结果的单调（1-单调）与凸递减（2-单调）密度类，与 k 为无穷的完全单调密度类之间的空隙。在本系列四篇论文中我们考虑 k-单调密度的（非参数）极大似然估计量与最小二乘估计量。在第一部分（part 1）中，我们证明估计量的存在性并给出刻画。我们还建立一致性性质，并证明估计量是阶为 k（次数为 k-1）且具有单节点的样条。进一步，在 g_0 在 x_0 处的 k 阶导数非零的假设下，我们给出在固定点 x_0 处估计 k-单调密度 g_0(x_0) 及其导数 g_0^{(j)}(x_0)（j=1,...,k-1）的渐近极小极大风险下界。