离散分布 $k$-单调性非参数检验的渐近理论

在形状受限的非参数推断中，常需要执行 preliminary 检验以验证概率质量函数 (p.m.f.) 是否满足单调性、凸性或更一般的 $k$-单调性等定性约束。本文关注离散分布 $k$-单调性的非参数检验。我们考虑一个基于从 $k$-单调性定义直接导出的自然统计量的统一测试框架。该框架允许我们设计一种新型一致方法，用于选择需要一致逼近基于经验测度或 p.m.f. 的形状受限估计器的 limit 分布的未知节点。我们证明，所提出的检验在任意固定备择方案下均为渐近有效且一致。此外，对于仅基于经验测度的检验，我们研究其在连续备择方案下的渐近功效，并推导出一种量化分离结果，提供实现给定功效的充分条件。我们利用该检验设计一个用于估计最大参数 $k \in \mathbb N_0$ 的方法，使得 p.m.f. 在所有 $j = 0, \ldots, k$ 中均为 $j$-单调。我们展示，该估计器在概率上与真实参数不同之比小于检验的名义水平。进行了详尽的模拟研究来评估所提出所有检验的有限样本性能，并展示了若干实际数据集的应用。