令牌循环中的遍历效应

我们考虑网络中的一种动力学过程，该过程以轮询方式将位于某个节点上的所有粒子（令牌）分配给其邻居。我们证明，在该动力学的循环状态下（即忽略系统多项式长的初始化阶段），在给定边上观测到的粒子数的时间平均值紧密集中在系统的平均粒子密度附近。形式上，对于具有 $m$ 条边的图中的 $k$ 个粒子系统，在长度为 $T$ 的任意时间区间内，只要 $\gcd(m,k) = \widetilde{O}(1)$（因此，例如当 $m$ 为素数时），该时间平均值为 $k/m \pm \widetilde{O}(1/T)$。为了获得这些界限，我们将所研究动力学的行为与基于对称有向图上欧拉回路的遍历性质联系起来。这些结果通过和集方法证明，可能具有独立的意义。作为推论，我们还获得了所研究动力学的空闲度界限，即在所有边上取定的、令牌在边上连续两次出现之间的最长可能时间。以最小化空闲度的方式设计 $k$ 个令牌的轨迹，是网络巡逻问题研究的基础。我们的结果直接意味着所研究过程的空闲度界限为 $\widetilde{O}(m/k)$，表明对于所有覆盖的情况，它是巡逻任务的一个分布式 $\widetilde{O}(1)$-竞争解。我们的工作还提供了一些可能对负载均衡应用有意义的进一步见解。