等价框架 1 维流形与 Pontryagin-Thom 同构

Pontryagin-Thom 定理给出了 framed n 维流形的 cobordism 群 $\omega_n$ 与球谱稳定同调群 $\pi_n(\mathbb{S})$ 之间的同构。其等价版本给出了 $V$-framed $G$-流形等价 cobordism 群 $\omega_V^G$ 与 $G$-球谱稳定同调群 $\pi_V^G(\mathbb{S})$ 之间的同构,其中 $G$ 为有限群, $V$ 为 $G$-表示。本文明确识别了 $\omega_1^{C_2}$ 和 $\omega_\sigma^{C_2}$ 中每个元素的像在 $\pi_1^{C_2}(\mathbb{S})$ 和 $\pi_\sigma^{C_2}(\mathbb{S})$ 下的等价 Pontryagin-Thom 同构映像。