楔和的等变范畴与拓扑复杂度

我们证明公式 \begin{equation*} \text{cat}_G(X\vee Y)=\max\{\text{cat}_G(X),\text{cat}_G(Y)\} \end{equation*} 对楔和 $X\vee Y$ 的等变范畴成立。作为一个直接应用，我们有楔和 $\bigvee_{i=1}^m X_i$ 是 $G$-可缩的当且仅当每个 $X_i$ 是 $G$-可缩的，对每个 $i=1,\ldots,m$。另一应用是计算商 $X/A$ 的等变范畴，其中 $X$ 为 $G$-空间，$A$ 为不变子集，使得包含映射 $A\hookrightarrow X$ 对某个 $x_0\in X^G$ 与常值映射 $\overline{x_0}:A\to X$ $G$-同伦。此外，我们讨论楔和的等变与不变拓扑复杂度。例如，作为我们结果的应用，在若干条件下对 $G$-连通的 $G$-CW-复形 $X$ 与 $Y$ 得到如下等式：\begin{align*} \text{TC}_G(X\vee Y)&=\max\{\text{TC}_G(X),\text{TC}_G(Y),\text{cat}_G(X\times Y)\}, \\ \text{TC}^G(X\vee Y)&=\max\{\text{TC}^G(X),\text{TC}^G(Y),_{X\vee Y}\text{cat}_{G\times G}(X\times Y)\}, \end{align*}