格点算符与图矩阵的等价性

我们探索格点场论与图论之间的关系，特别关注谱图论领域中 Dirac 与标量格点算符和矩阵之间的相互作用。除了深入探讨邻接矩阵与拉普拉斯矩阵等谱图论基本概念外，我们引入了一种称为“反对称化邻接矩阵”的新矩阵，专为圈有向图（$T^1$ 格点）与简单有向路径（$B^1$ 格点）量身定制。图论矩阵与格点算符之间的非平凡关系表明，图拉普拉斯矩阵反映了格点标量算符与格点费米子中的 Wilson 项，而反对称化邻接矩阵及其向高维的推广则等价于朴素格点 Dirac 算符。基于这些联系，我们为两个关键断言提供了严格证明：(i) 自由格点标量算符中的零模数目与底层图（格点）的第零 Betti 数一致。(ii) 自由格点费米子算符中 Dirac 零模的最大数目等价于当 $D$ 维图由圈有向图（$T^1$ 格点）与简单有向路径（$B^1$ 格点）的笛卡尔积构成时所有 Betti 数的累计和。