概率约束下与或树的平衡点

我们研究均匀二叉与或树上真值赋值上的概率分布 $d$。Liu 和 Tanaka [2007, Inform. Process. Lett.] 证明了以下结论：如果 $d$ 在独立分布（ID）中达到均衡，则 $d$ 是独立同分布（IID）。我们证明了上述结论的一个更强形式。给定一个实数 $r$ 满足 $0 < r < 1$，我们考虑一个约束条件：根节点取值为 0 的概率为 $r$。我们的主要结果如下：当我们将自身限制在满足此约束的 ID 中时，Liu 和 Tanaka 的上述结论仍然成立。该证明运用了巧妙的归纳技巧。特别地，我们展示了与或树上 IID 中期望代价与概率之间的两个基本关系：（1）代价与概率（根节点取值为 0 的概率）之比是叶节点概率 $x$ 的递减函数。（2）代价对概率的导数之比也是 $x$ 的递减函数。