基于平衡分布函数的介尺度有限差分方法求解偏微分方程：建模与分析

本文基于直接离散建模（DDM）与平衡分布函数（EDF）的思想，发展了用于宏观偏微分方程（PDE）的通用框架数值方法（MesoNM），包括但不限于非线性对流扩散方程（NCDE）和纳维-斯托克斯方程（NSEs）。不同于介尺度格子玻尔兹曼方法，本种 MesoNM 是一种 EDF 基于介尺度有限差分（MesoFD）方法，通过对 MesoFD 方案取矩，可直接推导出其宏观版本，称为 MMFD 方法。无论是 MesoFD 方案还是 MMFD 方案都是多层有限差分方法，MesoFD 方案为介尺度方法，MMFD 方案为其宏观形式，具有中心有限差分方案的形式。它们是统一的 PDE 的有限差分方案，可按需为隐式或显式形式。通过 Taylor 展开方法，可从 MesoFD 或 MMFD 方案推导出宏观矩方程（ME），并通过直接 Taylor 展开方法从 ME 恢复常见 PDE。此外，针对线性 CDE 和线性波动方程（带各向异性扩散），分析了 MMFD 方案的稳定性，分别获得了两级显式 MMFD 方案、两级 $\theta$-MMFD 方案（混合显式和隐式 MMFD 方案）和三级 MMFD 方案的稳定性条件。最后我们指出，一些现有的基于格子玻尔兹曼（LB）的宏观 PDE 模型（针对 NSEs 和 NCDE）是本 MMFD 的特例，从而可以视为 PDE 的统一框架有限差分方案。