熵度量作为宇宙学研究的几何工具

经典混沌常被刻画为邻近轨迹的指数发散。在许多有趣情形下，这些轨迹可识别为测地线。我们在此通过 $S = \ln \chi (x)$ 定义熵，其中 $\chi(x)$ 为两条邻近测地线间的距离。我们推导了熵的方程，通过变换为Ricatti型方程，其变得类似于Jacobi方程。我们进一步表明，在双重扭曲时空中的零测地线的测地线方程导出了相同的熵方程。通过应用作为时间函数的膨胀平坦三维欧氏空间的Robertson-Walker度规，我们再次得到熵方程，强调了所选熵度量与时间之间的联系。我们最后转向膨胀的Raychaudhuri方程，它也是与变换后熵方程类似的Ricatti方程。那些Ricatti型方程具有与Jacobi方程同形式的解。Raychaudhuri方程可变换为谐振子方程，且已表明Jacobi的测地线偏离方程本质上等价于谐振子方程。Raychaudhuri方程是研究广义相对论与宇宙学的强几何工具。我们提出一种精细熵度量，适用于宇宙学，并由测地线汇中测地线的平均偏离定义。