熵与普适覆盖树的生长率

本文研究了两个图参数 $\rho$ 和 $\Lambda$ 之间的关系。对于无向图 $G$，$\rho(G)$ 是其普适覆盖树的生长率，而 $\Lambda(G)$ 是顶点度减一的加权几何平均值，对应于非回溯随机游走（NBRW）的熵增长率。众所周知，$\rho(G) \geq \Lambda(G)$ 对所有图均成立，具有 $\rho=\Lambda$ 的图具有某些特殊性质。本文推导出等式成立的简易检验、充要条件。进一步我们证明，当 $\rho = \Lambda$ 时，长度为 $\ell$ 的 NBRW 所用的随机位数的方差为 $O(1)$，而当 $\rho > \Lambda$ 时为 $\Omega(\ell)$。据此我们构造了无数非平凡的 $\rho = \Lambda$ 图。