非平衡高斯测度间的熵最优传输具有闭式解
统计理论
2020-12-15 v2 统计理论
摘要
尽管最优传输（OT）问题仅在极少数著名情形下（如1维或高斯情形之间）有闭式解，这些闭式解已被证明对从业者定义受OT几何启发的工具极为多产。另一方面，使用熵正则化数值求解OT问题已催生众多应用，但由于熵正则化OT问题无已知闭式解，这些方法多为算法性的，缺乏优雅闭式的指导。本文中，我们致力于填补OT这两大学派之间的空白，证明两个高斯测度间的熵正则化最优传输问题存在闭式解。与由Wasserstein-Bures距离给出显式形式的非正则化情形不同，我们所获得的闭式解处处可微，即便对协方差矩阵退化的高斯分布亦然。我们通过求解Sinkhorn算法（计算熵正则化OT的默认方法）背后的不动点方程得到该闭式解。值得注意的是，此方法推广至广义非平衡情形——高斯测度被正常数缩放。该推广同样导出非平衡高斯的闭式表达式，并凸显了非平衡最优传输中质量传输/销毁的权衡。此外，在两种设定下，我们均证明最优传输方案为（缩放）高斯分布，并给出其参数的解析公式。这些公式构成了熵正则化最优传输首个非平凡闭式解，从而为熵OT与Sinkhorn算法的分析提供了基准真相。
引用
@article{arxiv.2006.02572,
title = {Entropic Optimal Transport between Unbalanced Gaussian Measures has a Closed Form},
author = {Hicham Janati and Boris Muzellec and Gabriel Peyré and Marco Cuturi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2006.02572},
year = {2020}
}