有限群的 Engel 与 co-Engel 图

设 $G$ 为一个群。定义一个有向图 $\vec{E}(G)$（称为 $G$ 的 Engel 有向图），其顶点集合为 $G$，若 $[y, {}_k x]=1$（其中 $k$ 为正整数），则在图中添加弧 $(x,y)$，其中 $[y,{}_kx]$ 是包含 $k$ 个 $x$ 的迭代交换子 $[y,x,x,\ldots,x]$。忽略方向后得到 Engel 图 $E(G)$；其补图称为 co-Engel 图 $E_c(G)$。虽然 Abdollahi 首次以 ``Engel 图'' 之名引入 co-Engel 图，但我们所使用的名称更为自然。本文首先关于 Engel 有向图与图作一些一般性结果的讨论，随后着手研究 co-Engel 图。其中我们证明无向 Engel 图不能唯一确定其有向版本（至同构），尽管此类反例在 $100$ 以下的阶数中仅有两个。我们还证明了普遍性定理：每个有限有向图都是某个有限群 Engel 有向图的诱导子图。$E_c(G)$ 的孤立顶点构成群 $G$ 的 Fitting 子群 $F(G)$。本文进一步实现了对某些非-Engel 群 $G$ 的诱导子图的研究，即由 $G \setminus F(G)$ 诱导得到的 $E_c^-(G)$。我们计算了 $E_c^-(G)$ 的基数、谱、能量以及 Zagreb 指数。据此，我们确定了所有 clique 数至多为 $4$ 且 $E_c^-(G)$ 为 torus 或 projective 的有限非-Engel 群 $G$。此外，我们证明 $E_c^-(G)$ 是 ALQ-整的，满足 E-LE 猜想和 Hansen-Vuki{\v{c}}evi{\'c} 猜想。