长方体哈明图的自同态、r类拉丁超长方体与混合MDS码

本文研究定义在集合$\left[ n_1\right]\times \left[ n_2\right]\times \cdots \times \left[ n_d\right]$（其中$\left[ n\right]=\{1,...,n\}$）上的长方体哈明图$H(n_1,...,n_d,S)$的奇异自同态的存在性，该图是著名的（立方）哈明图在$\left[ n\right]^{d}$上的推广。若$H$中两顶点的哈明距离属于集合$S$，则它们相邻。本文中$S=\{1,...,r\}$，对某整数$1\leq r\leq d-1$，我们首先证明$H(n,...,n,S)$的极小秩（即其像的大小）奇异自同态对应于$r$类拉丁超立方（最初由Kishen (1950)定义）。随后我们将这些超立方推广到$r$类拉丁超长方体。我们讨论了这些对象的存在性，给出了构造并统计了小参数下的拉丁超长方体。最后部分，我们将$r$类拉丁超立方与MDS码之间的自然联系推广到$r$类拉丁超长方体，从而导出混合码（混合MDS码）的MDS码定义，即定义在超长方体上的码。在此我们展示了图自同态、拉丁超长方体与混合MDS码之间的相互依赖关系。