将二元序列嵌入 $\mathbb{Z}^3$ 上的 Bernoulli 点渗流

我们研究将无限二元序列嵌入参数为 $p$ 的 $\mathbb{Z}^d$ 上的 Bernoulli 点渗流中的问题，该问题也称为词渗流。1995 年，I. Benjamini 和 H. Kesten 证明了对于 $d \geq 10$ 且 $p=1/2$，几乎所有序列都可以被嵌入。他们猜想同样的结论对于 $d \geq 3$ 也成立。在本文中，我们考虑 $d \geq 3$ 且 $p \in (p_c(d), 1-p_c(d))$ 的情形，其中 $p_c(d)<1/2$ 是 $\mathbb{Z}^d$ 上点渗流的临界阈值。我们证明存在一个整数 $M = M (p)$，使得几乎必然地，每一个连续 {0} 或 {1} 游程至少包含 $M$ 个数字的二元序列都可以被嵌入。