percolation theory 中的随机支配与随机变量的提升

考虑一矩阵等待其系数被写入。对于每一列，独立抽取一个参数为 $p$ 的伯努利随机变量。若该列的伯努利随机变量等于 1，则在该列中 Alice 选定的某个位置写入数字 1；若等于 0，则该列不做任何操作。我们证明，即便借助额外随机性，Bob 仍可通过合理选择的 0 和 1 填补矩阵中的空位，使得矩阵条目成为相互独立的参数为 $p$ 的伯努利随机变量。我们研究该问题的各种一般化和变体，并利用此结果重新审视并推广（非严格）随图的商操作（即纤维化）而对 percolation 阈值 $p_c$ 的单调性。我们也利用此结果重新审视 BK 不等式。在第二部分（独立于第一部分），我们重新审视 $p_c$ 随纤维化的严格单调性问题，该结果自然需要比其非严格对应项更多的假设。我们不依赖关键性增强，直接通过耦合方法重新证明了 Martineau--Severo 关于键 percolation 案例的结果。