黎曼流形的爱因斯坦扩张

给定维数为$n$的黎曼空间$N$以及$N$上对称自同态的场$D$,我们将$N$通过$D$得到的扩张$M$定义为维数为$n+1$的黎曼流形,该流形由一种类似于通过李代数的导子扩张李群的构造从$N$得到。我们找到了$N$与$D$上蕴含扩张$M$为爱因斯坦流形的条件。特别地,我们证明在此情形下$D$具有常特征值;此外,若$\det D \ne 0$,它们(在差一个缩放意义下)均为整数。它们必须满足某些算术关系,这些关系蕴含在每一维数下$D$仅有有限多种特征值类型(对爱因斯坦可解流形已知有类似结果)。我们给出了对$D$的特定特征值类型的爱因斯坦扩张的刻画,包括当$D$有两个特征值且其中一个无重数时的完整分类。在最有趣的情形的中,该扩张由一种显式步骤从近Kähler Ricci平坦流形(特别地,从Calabi-Yau流形)得到。我们还证明所有四维爱因斯坦扩张均为爱因斯坦可解流形。在$N$为带左不变度量的李群且在一些附加假设下,类似结果也成立。