初值问题的Legendre对偶Petrov-Galerkin方法的特征值分析及其应用

本文中，我们证明了由Legendre对偶Petrov-Galerkin (LDPG) 方法对$m$阶初值问题 (IVP)：$u^{(m)}(t)=\sigma u(t),\, t\in (-1,1)$（其中常数$\sigma\not=0$且在$t=-1$处具有通常初值条件）所得到的谱离散矩阵的特征值与特征向量，与广义Bessel多项式 (GBPs) 相关联。该分析的核心思想是恰当构造解空间及其对偶空间的基函数，使得$m$阶导矩阵为单位矩阵，进而质量矩阵与具有特定整数参数的GBPs三项递推的Jacobi矩阵恒等或近似相等。这使我们能够刻画特征值分布并确定特征向量。作为副产品，我们通过将1980年代研究的Legendre点配置法重构为Petrov-Galerkin形式，得以回答一阶IVP的Legendre点配置法极少已知结果相关的一些开放问题。此外，我们提出了两种计算GBPs零点的稳定算法，并基于矩阵对角化（因病态性仅限时间方向少量未知量但完全并行）或QZ分解（对时间方向大量未知量数值稳定但需顺序计算）发展了用于演化PDEs的一般时空谱方法。我们给出了充分的数值结果，以展示所提时空谱方法对若干有趣线性和非线性波动问题算例的高精度与鲁棒性。