铺砌与锅柄型拟阵的 Ehrhart 理论

我们证明任意铺砌拟阵 $M$ 的基多面体 $P_M$ 均可由超单纯形通过切去某些子多面体系统得到，即对应于锅柄形 Ferrers 图的格路径拟阵的基多面体。我们计算了这些拟阵的 Ehrhart 多项式，并由此从 Katzman 的超单纯形 Ehrhart 多项式公式出发写出 $P_M$ 的 Ehrhart 多项式。该方法建立并推广了 Ferroni 关于稀疏铺砌拟阵的工作。在组合上，我们的构造对应于通过迭代 Ferroni、Nasr 和 Vecchi 引入的受压超平面松弛操作从铺砌拟阵构造均匀拟阵，该操作推广了拟阵理论中标准的回路-超平面松弛概念。我们给出证据表明锅柄型拟阵是 Ehrhart 正的，并描述了一个涉及链森林与欧拉数的猜想组合公式，由之可推出锅柄型拟阵的 Ehrhart 正性。作为主结果的应用，我们计算了与 Steiner 系统和有限射影平面相关的拟阵的 Ehrhart 多项式，并表明它们仅依赖于其设计理论参数：例如，尽管同阶射影平面的拟阵未必同构，其基多面体必为 Ehrhart 等价。