拉普拉斯矩阵及其伪逆的高效$\widetilde{O}(n/\epsilon)$谱草图

本文考虑高效计算拉普拉斯矩阵及其伪逆的$\epsilon$-草图问题。给定拉普拉斯矩阵与误差容限$\epsilon$，我们试图构造一个函数$f$，使得对于任意向量$x$（从$f$中盲选），以高概率满足$(1-\epsilon) x^\top A x \leq f(x) \leq (1 + \epsilon) x^\top A x$，其中$A$为拉普拉斯矩阵或其伪逆。我们的目标是高效构造此类草图$f$并以最小空间存储。我们提供了近线性时间算法，在给定拉普拉斯矩阵$\mathcal{L} \in \mathbb{R}^{n \times n}$与误差容限$\epsilon$时，生成$\tilde{O}(n/\epsilon)$规模的$\mathcal{L}$及其伪逆的草图。我们的算法改进了Andoni等人(2015)针对拉普拉斯形式草图先前最优的$\widetilde{O}(n / \epsilon^{1.6})$规模，以及Batson、Spielman和Srivastava(2008)针对拉普拉斯伪逆草图的$O(n / \epsilon^2)$规模。此外，我们展示了如何从$\widetilde{O}(n/\epsilon)$规模草图在$\widetilde{O}(n^2/\epsilon)$时间内计算全点对有效电阻。这改进了Spielman和Srivastava(2008)先前最优的$\widetilde{O}(n^2/\epsilon^2)$运行时间。