估计扩张图有效电阻与计数生成树的新方法

我们证明，对于扩张图，对所有 $\epsilon > 0$，存在一个大小为 $\widetilde{O}(n\epsilon^{-1})$ 的数据结构，可用于在每次查询 $\widetilde{O}(1)$ 时间内返回有效电阻的 $(1 + \epsilon)$-近似。在存储所有有效电阻之外，先前最佳方法通过为每个顶点存储 Johnson-Lindenstrauss 向量可达到 $\widetilde{O}(n\epsilon^{-2})$ 大小与每次查询 $\widetilde{O}(\epsilon^{-2})$ 时间，或通过存储谱草图达到 $\widetilde{O}(n\epsilon^{-1})$ 大小与每次查询 $\widetilde{O}(n\epsilon^{-1})$ 时间。我们的构造基于两个关键思想：1) 对所有 $u$ 的 $DL^+1_u$ 的 $\epsilon^{-1}$-稀疏、$\epsilon$-加性近似可用于恢复有效电阻的 $(1 + \epsilon)$-近似；2) 在扩张图中，与 $DL^+1_u$ 相似的向量仅有 $\widetilde{O}(\epsilon^{-1})$ 个坐标大于 $\epsilon$。我们通过随机游走在 $\widetilde{O}(m + n\epsilon^{-2})$ 时间内给出此类数据结构的高效构造。这得到了一个用于在扩张图中计算 $s$ 个顶点对 $(1+\epsilon)$-近似有效电阻的算法，运行时间为 $\widetilde{O}(m + n\epsilon^{-2} + s)$，对于 $s = \omega(n\epsilon^{-0.5})$ 改进了先前已知最佳运行时间 $m^{1 + o(1)} + (n + s)n^{o(1)}\epsilon^{-1.5}$。我们采用上述算法在 $\widetilde{O}(m + n^{1.5}\delta^{-1})$ 时间内计算扩张图中生成树数量的 $(1+\delta)$-近似，或等价地近似其拉普拉斯矩阵的（伪）行列式。这改进了先前已知结果 $m^{1+o(1)} + n^{1.875+o(1)}\delta^{-1.75}$ 时间，并匹配了已知最佳的行列式稀疏化器大小。