近似内积与维数缩减的最优压缩

设 $X$ 为欧几里得空间 $R^k$ 中范数至多为 1 的 $n$ 个点的集合，并设 $\varepsilon>0$。$X$ 的一个 $\varepsilon$-距离草图是一种数据结构，给定 $X$ 中的任意两点，能够以 $\varepsilon$ 的加性误差恢复它们之间（欧几里得）距离的平方。设 $f(n,k,\varepsilon)$ 表示此类草图的最小可能比特数。在此，我们对所有 $n \geq k \geq 1$ 且所有 $\varepsilon \geq \frac{1}{n^{0.49}}$ 的情况，将 $f(n,k,\varepsilon)$ 确定到一个常数因子。我们的证明是算法性的，并提供了一种高效算法，可为每个点计算大小为 $O(f(n,k,\varepsilon)/n)$ 的草图，使得任意两点之间距离的平方可以通过它们的草图以 $\varepsilon$ 的加性误差在正比于草图长度的时间内计算出来。我们还讨论了更小的 $\varepsilon>2/\sqrt n$ 的情况，并在此范围内获得了关于维数缩减的一些新结果。特别地，我们证明了对于任何这样的 $\varepsilon$ 以及任何 $k \leq t=\frac{\log (2+\varepsilon^2 n)}{\varepsilon^2}$，存在 $R^k$ 中 $n$ 个点的构型，在 $\ell < ck$（$c$ 为一个小的绝对正常数）的情况下无法嵌入 $R^{\ell}$，而不会使某些内积（和距离）的畸变超过 $\varepsilon$。在正面结果方面，我们提供了一种随机多项式时间算法，用于 Johnson-Lindenstrauss 引理的一个二部变体，其中标量积被近似至最多 $\varepsilon$ 的加性误差。该变体允许将维数缩减至 $O(\frac{\log (2+\varepsilon^2 n)}{\varepsilon^2})$，其中 $n$ 为点的数量。