更快更简单的估值函数草图

我们提出了用于草图化估值函数的快速算法。设 $N$ ($|N|=n$) 为某个基集，$v:2^N\rightarrow \mathbb R$ 为一个函数。若对于每个集合 $S$ 都有 $\frac {v(S)} {\alpha} \leq \tilde v(S) \leq v(S)$，且 $\tilde v$ 可用 $poly(n)$ 比特描述，则称 $\tilde v:2^N\rightarrow \mathbb R$ 为 $v$ 的 $\alpha$-草图。Goemans 等人 [SODA'09] 表明，若 $v$ 是次模的，则存在一个 $\tilde O(\sqrt n)$-草图，其可通过多项式数量的值查询构建（这是最优的，因为 Balcan 和 Harvey [STOC'11] 证明了不存在任何次模函数具有 $n^{\frac 1 3 - \epsilon}$-草图）。基于他们的工作，Balcan 等人 [COLT'12] 和 Badanidiyuru 等人 [SODA'12] 表明，若 $v$ 是次可加的，则存在一个 $\tilde O(\sqrt n)$-草图，其可通过多项式数量的需求查询构建。先前的所有草图均基于复杂的几何构造。其构造的第一步是通过寻找一个能良好“近似”$v$ 的椭球来证明良好草图的存在性（这是通过应用 John 定理来确保存在一个与 $v$ 关联的多面体“接近”的椭球）。第二步是证明该椭球可以被高效找到，这通过反复求解特定的凸规划以获得 John 椭球的更好近似来实现。在本文中，我们给出了一个更简单、非几何的良好草图存在性证明，并利用该证明获得了匹配先前近似界限的更快算法。具体而言，我们提供了一种仅需 $\tilde O(n^\frac{3}{2})$ 次值查询即可找到次模函数 $\tilde O(\sqrt n)$-草图的算法，以及一种仅需 $O(n)$ 次需求和值查询即可找到次可加函数 $\tilde O(\sqrt n)$-草图的算法。