估值函数的近似 $\mathbb{F}_2$-Sketch

我们研究构造最小维数线性 sketch 的问题，该 sketch 允许以较小的期望平方误差近似给定的实值函数 $f \colon \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb R$。我们为此类函数发展了线性 sketch 的一般理论，通过该理论我们分析了最常研究的估值函数类型的维数：加性、预算加性、覆盖、$\alpha$-Lipschitz 子模以及拟阵秩函数。这刻画了必须存储关于输入 $x$ 的多少比特信息，才能在其坐标的加性更新下计算 $f$。我们的结果在大多数情况下是紧的，并且我们还将其扩展到了该问题的分布版本，其中输入 $x \in \mathbb{F}_2^n$ 是均匀随机生成的。利用与动态流算法的已知联系，我们工作中获得的维数上下界同样可以扩展到在作为流呈现的输入 $x$ 的加性更新长序列下计算 $f(x)$ 的算法的空间复杂度。类似的结果同样适用于分布式设置中的同时通信。